<-PollName->
خبرنامه وب سایت:
آمار
وب سایت:
در آنالیز مختلط، مانده عدد مختلطی است که رفتار انتگرال منحنی‌الخط یک تابع مرومورفیک را حول نقطه تکین شرح می‌دهد. مانده‌ها به سادگی می‌توانند محاسبه شوند و با استفاده از قضیه مانده مقدار بسیاری از انتگرال‌های پیچیده ا بدست می‌دهند.
انگیزه
به عنوان یک مثال، انتگرال
را در نظر بگیرید که C یک خم ژوردان حول ۰ است. اجازه بدهید این انتگرال را بدون استفاده از قضایای استاندارد انتگرال‌گیری حل کنیم. سری تیلور ez را در تابع زیر انتگرال جایگزین می‌کنیم:
حال 1/z5 را به داخل سری می‌بریم و داریم
حال انتگرال به شکل ساده‌تری تبدیل می‌شود. با به خاطر آوردن
اکنون انتگرال حول C برای هر جمله که به شکل cz−1 نیست صفر می‌شود، و انتگرال به صورت زیر می‌شود:
مقدار 1/4! با عنوان مانده‌ی ez/z5 در z = 0 شناخته می‌شود، و به صورت زیر نشان داده می‌شود
محاسبهٔ مانده
دیسک سوراخ‌دار D = {z : 0 <|z − c| <R} را در صفحه مختلط و تابع هولومورفیک f (حداقل) تعریف شده بر D را در نظر بگیرید. ماندهٔ f در c ضریب a−1 از (z − c)−1 در سری لوران بسط f حول c است. در یک قطب ساده، مانده به‌وسیله‌ٔ
بدست می‌آید. بر اساس فرمول انتگرال‌گیری داده شده در مقالهٔ سری لوران داریم:
که γ دایره را حول c در جهت پادساعتگرد می‌پیماید. می‌توانیم γ را یک دایره با شعاع ε حول c انتخاب کنیم که ε به اندازه دلخواه کوچک است. ماندهٔ تابع f(z)=g(z)/h(z) در قطب ساده c که gو h توابع هولومورفیک در همسایگی c با h(c) = 0 و g(c) ≠ 0 به‌وسیله‌ی
داده می‌شود. به طور کلی‌تر، مانده f حول z = c، یک قطب از مرتبه n، با فرمول
بدست می‌آید. اگر تابع f روی تمام دیسک { z : |z − c| <R } هولومورفیک باشد آنگاه Res(f، c) = 0. عکس آن در حالت کلی برقرار نیست.